Geometrísk framrás og eiginleikar þess

Geometrísk framrás er mikilvægt í stærðfræði sem vísindi og beitt þýðingu, þar sem það hefur mjög víðtæka gildissvið, jafnvel í hærri stærðfræði, til dæmis í kenningu um röð. Fyrsti upplýsingar um framvindu kom til okkar frá forn Egyptalandi, einkum í formi vel þekkt vandamál á Rhind papyrus sjö manns með sjö köttum. Afbrigði af þessu verkefni var endurtekið mörgum sinnum á mismunandi tímum frá öðrum þjóðum. Jafnvel Velikiy Leonardo Pizansky, þekktur sem Fibonacci (XIII c.), Talaði við hana í hans "bók í Abacus."

Þannig að geometrísk framrás hefur forna sögu. Það táknar tölulega röð þegar frábrugðnar núlli fyrstu einingu sem, og hvert, sem hefst á annarri er ákvarðað með því að margfalda fyrri endurtekningatíðni formúluna við stöðugan, frábrugðnar núlli tala, sem kennt er samnefnari framvinda (það tilnefnd yfirleitt með stafatakkanum q).
Ljóst er að það er hægt að finna með því að deila í hvert sinn sem gildistíma röð við fyrri, þ.e.a.s. Z 2: z 1 = ... = zn: Z n-1 = .... Þar af leiðandi, að mestu starf framgangi (Zn) nægilega að það þekkir gildi fyrsta tíma á nefnara og y 1 q.

Til dæmis, láta Z1 = 7, Q = - 4 (q <0), þá eftirfarandi geometrísk framrás fæst 7 - 28, 112 - 448, .... Eins og þú geta sjá, leiðir röð er ekki einhalla.

Muna að handahófskennt röð eintóna (auka / minnka) þegar einn nefndarmanna fylgir meira / minna en the fyrri einn. Til dæmis, röðinni 2, 5, 9, ..., og -10, -100, -1000, ... - Monotone, the second einn - sem einnig er minnkandi geometrísk framrás.

Í þeim tilvikum þar sem q = 1, allir meðlimir eru talin vera, og það er kallað stöðug framrás.

Röðin var framrás af þessari gerð, verður það að uppfylla eftirfarandi nauðsynlegt og fullnægjandi skilyrði, nánar tiltekið: Byrjun frá öðrum, hverjum þeim sem því finna ætti að vera margfeldismeðaltal af nálægum meðlimum.

Þessi eign gerir undir ákveðnum tveir samliggjandi Finndu handahófskennt tíma framrás.

n-ta tíma veldisvaxandi auðvelt að finna með formúlunni: Zn = z 1 * Q ^ (n-1), z að vita fyrst meðlimur 1 og nefnara q.

Þar sem talnarunu hefur summu, þá nokkur einfaldra útreikninga gefa okkur formúlu til að reikna summu fyrstu framvindu meðlimum, þ.e:

S n = - (zn * Q - Z 1) / (1 - q).

Skipta um, í formúlu sinni hugtakið gildi zn z 1 * Q ^ (n-1) til að útbúa nýja summan uppskrift af bæði á framgangi: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Er vert athygli á eftirfarandi áhugaverður staðreynd: leirinn tafla í uppgreftri Babýlonar, sem vísar til VI. BC, inniheldur undursamlegan hátt summu 1 + 2 + ... + 22 + 29 jafnt og 2 til tíunda máttur mínus 1. skýringu á þessu fyrirbæri hefur ekki enn fundist.

Við huga eitt af þeim eiginleikum geometrísk framrás - fasti vinnu félagsmanna, dreift í jöfnum fjarlægð frá endimörkum röð.

Sérstaklega mikilvægt frá vísindalegu sjónarmiði, svo sem hlutur eins og óendanlega geometrísk framrás og reikna fjárhæð hennar. Að því gefnu að (yn) - A geometrísk framrás having nefnara q, uppfylla skilyrði | q | <1, fjárhæð hennar verður vísað til takmörk átt sem við vitum nú þegar summu fyrstu meðlimir hennar, með takmarkalaus aukning n, þá hafa á það nálgast óendanlegt.

Finna þessa upphæð sem afleiðing af því að nota formúluna:

S n = y 1 / (1- q).

Og, eins og reynslan hefur sýnt, að augljós einfaldleiki af þessari framvindu er falin mikla notkunarmöguleika. Til dæmis, ef við reisa röð af reitum í samræmi við eftirfarandi reiknirit, sem tengir miðpunkta the fyrri einn, þá þeir mynda ferning óendanlega geometrísk framvindu having a nefnara 1/2. Sama framrás form og flatarmál þríhyrninga, fæst á hverju stigi byggingu, og summa hans er jafn að svæði af upprunalegu torginu.