Venjulegur polyhedra: þættir Symmetry og svæði

Rúmfræði er falleg vegna þess að ólíkt algebru, sem er ekki alltaf ljóst hvers vegna og hvað þér finnst, gefur sjón hlut. Þessi dásamlegur veröld af ýmsum aðilum adorn reglulega polyhedra.

Almennar upplýsingar á reglulegum polyhedra

Samkvæmt mörgum, venjulegur polyhedrons, eða eins og þeir eru kallaðir platónska föst, hafa einstaka eiginleika. Með þessir hlutir tengdir nokkur vísindaleg tilgátur. Þegar þú byrjar að rannsaka geometrísk gögn líkamans, við gerum þér að nánast veist ekki neitt um slíkt hugtak sem venjulegur polyhedra. Framsetning þessara hluta í skólann er ekki alltaf áhugavert, svo margir ekki einu sinni muna hvað þeir voru kallaðir. Í minningu flest fólk það er bara teningur. Ekkert af líkamanum rúmfræði ekki slíkar fullkomnun sem venjulegur polyhedrons. Öll nöfn þessara geometrísk stofnana upprunnin frá Grikklandi hinu forna. Þeir tákna fjölda af andlitum: the fjórflötunginn - fjögurra hliða, hexahedron - Allen, áttflötungs - átthyrningur, tólfflötungur - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Öll þessi geometrísk líkama gegnir mikilvægu hlutverki í hugmynd Platons alheimsins. Fjórar þeirra eru við lýði þætti eða aðila: fjórflötunginn - eldinum, icosahedron - vatn teningur - Earth, octahedron - loft. Tólfflötungur felst allt. Hann var talinn helsta, sem tákn alheimsins.

The alhæfing af hugtakinu polyhedron

Polyhedron er endanlegt safn af marghyrninga þannig að:

• hver af hliðum einni eða fleirí af marghyrninga er á sama tíma aðeins einn hliðar við annað marghyrnings á sömu hlið;
• frá hvert marghyrninga er hægt að ganga í aðra með brottför aðlægt marghyrninga.

Marghyrninga sem mynda Polyhedron tákna andlit hennar og þeirra hlið - rif. polyhedra hornpunkta eru hornpunkta marghyrninga. Ef hugtakið marghyrning skilja íbúð lokuð Polylines, þá koma til einn skilgreiningu a polyhedron. Í því tilviki þar sem þetta hugtak er ætlað hluti af flugvél sem afmarkast af brotnum línum, það verður skilið yfirborð samanstendur af polygonal stykki. Kúpt Polyhedron er kallað líkamann liggjandi á einni hlið í flugvél, við hliðina á andlit hennar.

Annar skilgreining á polyhedron og þættir hennar

Polyhedron kallað yfirborð sem samanstendur af marghyrninga, sem takmarkar rúmfræðileg líkamann. Þau eru:

• sem ekki-kúpt;
• kúpt (rétt og rangt).

Venjulegur Polyhedron - er kúpt Polyhedron með hámarks samhverfu. Þáttagreining reglulega polyhedra:

• Í Tetrahedron: 6 rif 4 andlit 5 hnúta;
• hexahedron (teningur) 12, 6, 8;
• tólfflötungur 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Setning Eulers

Það setur tengsl milli fjölda brúnir, hornum og andlit eru grannfræðilega jafngildir kúlu. Bæti fjölda hornpunkta og andlit (B + D) hafa mismunandi reglulega polyhedra og bera þær saman við fjölda rifbeina, það er hægt að setja eina reglu: summa fjölda andlit sem svarar til fjölda hornpunkta og brúnir (P) jókst um 2. Það er hægt að reikna einfalda formúlu:

• B + D = P + 2.

Þessi formúla gildir fyrir alla kúpt polyhedra.

helstu skilgreiningar

Hugmyndin um reglulegu polyhedron er ómögulegt að lýsa í einni setningu. Það er meira metin og bindi. Meginhluti að vera viðurkennd sem slík, það er nauðsynlegt að hann uppfylli fjölda skilgreiningar. Þannig rúmfræðilegt líkaminn verður venjulegur Polyhedron þegar þessi skilyrði eru uppfyllt:

• það er kúpt;
• sama fjölda fjöldi rimla converges á hvert af hornpunkta þess;
• allar hliðar hans - reglulegra marghyrninga, jafn hver öðrum;
• Allar Vænghalla horn eru jafnir.

Eiginleikar reglulega polyhedra

Það eru 5 mismunandi gerðir af reglulegri polyhedra:

1. Cube (hexahedron) - það hefur íbúð topphorn er 90 °. Það hefur 3-hliða horn. Upphæð andlit angles við efsta hluta 270 °.
2. Í Tetrahedron - íbúð topphorn um - 60 °. Það hefur 3-hliða horn. Upphæð andlit angles á toppi - 180 °.
3. Áttflötungs - íbúð topphorn um - 60 °. Það hefur fjögurra hliða horn. Upphæð andlit angles á toppi - 240 °.
4. Tólfflötungur - íbúð topphorn 108 °. Það hefur 3-hliða horn. Upphæð andlit angles á toppi - 324 °.
5. Icosahedron - það er flatt Apex horn - 60 °. Það hefur fimm hliða horn. Upphæð andlit angles við efsta hluta 300 °.

Svæðið reglulega polyhedra

Yfirborð Flatarmál rúmfræðilegra aðila (S) er reiknað sem til reglulegan marghyrning svæði margfaldað með fjölda hliðar (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Rúmmál af a venjulegur polyhedron

Þetta gildi er reiknað með því að margfalda rúmmál a venjulegur pýramída sem stöð er til reglulegan marghyrning, fjölda andliti, og hæð hennar er innritaðs radíus kúlunnar (r):

• V = 1: 3RS.

Bindi reglulega polyhedra

Eins og allir aðrir geometrísk fostu formi, með reglulegu polyhedra hafa mismunandi rúmmál. Hér að neðan eru formúlur sem þeir geta reikna:

• Í Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (teningur): a x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• tólfflötungur: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Þáttagreining reglulega polyhedra

Hexahedron og octahedron eru tvískiptur geometrísk lík. Með öðrum orðum, þeir mega fá út af hvort öðru ef að þungamiðja einn er tekið sem ofan á aðra, og öfugt. Einnig eru tvískiptur icosahedron og tólfflötungur. Sjálfur aðeins í Tetrahedron er tvískiptur. Samkvæmt aðferð við Euclid er hægt að fá úr tólfflötungur hexahedron með því að byggja "þak" á andlitum teningnum. Hornpunkta Tetrahedron eru einhverjar 4 hornpunktar tening, ekki aðliggjandi para meðfram brún. Frá hexahedron (teningur) er hægt að nálgast, og öðrum reglulegum polyhedra. Þrátt fyrir þá staðreynd að venjulegur marghyrningur það eru óteljandi, venjulegur polyhedra, það eru aðeins 5.

Radíusar reglulegu marghyrninga

Hverri og einni þessara rúmfræðilegum stofnana hún er í tengslum sammiðja kúlur 3:

• sem lýst er sem liggur í gegnum hornpunktum;
• inscribed um hvert andlit hennar í the miðja af það;
• Miðgildi um allar brúnir í miðjunni.

The radíus kúlu sem lýst er með eftirfarandi formúlu er reiknað:

• R = a: 2 x TG π / g x TG θ: 2.

Radíus ritaðar kúlu er reiknað á eftirfarandi hátt:

• R = a: 2 x CTG π / p x TG θ: 2,

þar sem θ - vænghalla hornið, sem er á milli samliggjandi hliðar.

Miðgildi radíus kúlunnar er hægt að reikna út með eftirfarandi formúlu:

• ρ = COS π / p: 2 Sin π / klst,

þar sem h = stærðina 4.6, 6.10, eða 10 sem hlutfallið á milli radíusi innritaðs lýst er og samhverft með tilliti til p og q. Það er reiknað á eftirfarandi hátt:

• R / r = TG π / p x TG π / q.

Samhverfa polyhedra

Samhverfa reglulegu polyhedra er aðal áhuga á þessum geometrísk aðila. Það er svo sem hreyfingu líkamans í rúm, sem skilur jafnmarga hornpunkta, andlit og brúnir. Með öðrum orðum, undir áhrifum samhverfu Umbreytingar brún, hornpunkt, eða andlit heldur upprunalegu stöðu sína, eða færist til heima stöðu annars rif, annarra hornpunkta eða andlit.

Þáttagreining samhverfu af the venjulegur polyhedra eru sameiginleg öllum tegundum geometrísk föst efni. Hér fer fram á sjálfsmynd umbreytingu, sem skilur eitthvað af þeim stöðum í upprunalega stöðu. Svo, þegar þú kveikir á fjölhliða prisma geta fá sumir samhverfur. Eitthvað af þeim getur verið fulltrúi sem afurð íhugunar. Symmetry, sem er afrakstur af jafnri tölu hugleiðingar, sem kallast bein. Ef það er afrakstur af oddatölu fjölda hugleiðingar, þá er það kallað viðbrögð. Þannig allir snýr línu tákna beint samhverfu. Allir spegilmynd Polyhedron - er andhverfa Symmetry.

Til að skilja betur Samhverfa þætti reglulega polyhedra, getur þú tekið dæmi um fjórflötungs. Allir lína sem munu fara í gegnum einn hornpunkt og miðju geometrísk form, fer fram, og í gegnum miðju brún gegnt henni. Hver af snúninga 120 og 240 ° í kringum línu tilheyrir fleirtölu fjórflötungshorn samhverfu. Þar sem það 4 hnúta og andlit, fáum við samtals átta beinum samhverfur. Allir af línum sem liggur í gegnum miðju brúnir og miðju líkamans, fer það í gegnum miðju gagnstæða brún. Einhver snúningur á 180 °, sem kallast hálf-beygju í kringum beinni samhverfu. Þar sem Tetrahedron hefur þrjú pör af rifjum, þú færð þrjár línur af samhverfu. Byggt á ofangreindum, getum við gert til þess heildarfjölda beinni samhverfu og þar á meðal sjálfsmynd umbreytingu, verður allt að tólf. Önnur bein Symmetry Tetrahedran er ekki til, en það hefur 12 andhverfa samhverfu. Þar af leiðandi, einungis 24 sem einkennist af Tetrahedmn samhverfur. Fyrir skýrleika, getum við að byggja upp líkan af reglulegum fjórflötungs úr pappa og ganga úr skugga um það er rúmfræðilegt líkaminn hefur í raun aðeins 24 samhverfu.

Tólfflötungur og icosahedron - næst líkamanum svæði. Icosahedron hefur flesta andlit, the Vænghalla horn og mest af öllu geta vel loða við ritaðar kúlu. Tólfflötungur hefur lægsta hyrndur galla stærstu solid horn í kúlu. Það getur hámarkað að fylla í afmarkaða sviði.

skönnun polyhedra

Venjulegur polyhedra skanna, sem við öll föst saman í æsku, hafa a einhver fjöldi af hugmyndum. Ef það er sett af marghyrninga, hvor hlið sem er greind með aðeins annarri hlið polyhedron, að bera kennsl á aðila skulu uppfylla tvö skilyrði:

• hvers keilu, getur þú farið til keilu sem hefur að bera kennsl á hlið;
• að bera kennsl hlið ætti að hafa sömu lengd.

Það er sett af marghyrninga sem uppfylla þessi skilyrði, og er kallað Polyhedron grannskoða. Hver af þessum aðilum hefur nokkurra þeirra. Til dæmis, teningur þar af eru 11 stykki.