Kúptu marghyrningar. Skilgreining á kúptu marghyrningi. Skurður á kúptu marghyrningi

Þessir geometrískir tölur umlykja okkur alls staðar. Kúptu marghyrningar eru náttúrulegir, til dæmis, býflugur honeycombs eða gervi (skapað af mönnum). Þessar tölur eru notaðar við framleiðslu á ýmiss konar húðun, málverk, arkitektúr, skreytingar osfrv. Kúptu marghyrningar hafa eignina sem öll stig þeirra eru staðsett á annarri hlið línunnar sem liggur í gegnum par af nálægum hnitum þessa geometrískra mynda. Það eru aðrar skilgreiningar. Kúpt er þessi marghyrningur sem er staðsettur í einum hálfplani með hliðsjón af hvaða línu sem er með einum hliðum þess.

Kúptu marghyrningar

Í undirstöðuatriðum er alltaf tekið tillit til einfalda marghyrninga. Til að skilja allar eiginleikar slíkra geometrískra tölva er nauðsynlegt að skilja eðli þeirra. Til að byrja með ætti að skilja að hvaða lína sem endar saman verða kallað lokuð. Og myndin sem myndast af henni getur haft margs konar stillingar. Marghyrningur er einföld lokuð marghyrndur lína sem aðliggjandi tenglar liggja ekki á sömu línu. Tenglar hennar og tindar eru, hver um sig, hliðar og tindar þessa geometrískra mynda. Einföld fjöllin má ekki hafa sjálfstætt gatnamót.

Hnúður marghyrningsins eru kallaðir aðliggjandi ef þeir tákna endann af einum hliðum þess. Stærðfræðileg mynd sem hefur n-t fjöldann af hnöppum, og þar af leiðandi n-th fjöldi hliða, kallast n-gon. Brotin lína sjálft er kallað mörkin eða útlínur þessarar rúmfræðilegu myndar. A marghyrnt flugvél eða flugvél marghyrningur er kallað endanlegur hluti allra flugvéla sem takmarkast af því. Nágrannar hliðar þessa geometrískra mynda eru hluti af brotnu línu sem byrjar frá einum hornpunkti. Þeir munu ekki vera nærliggjandi ef þeir koma frá mismunandi punktum marghyrningsins.

Aðrar skilgreiningar á kúptum marghyrningum

Í grunnfræðilegri stærðfræði eru nokkrir jafngildar skilgreiningar hvað varðar gildi þess, sem gefur til kynna hvaða marghyrningur er kallaður kúptur. Og allar þessar samsetningar eru jafn sannar. A kúptur marghyrningur er talinn vera:

• Sérhver hluti sem tengir öll tvö stig í henni liggur algjörlega í henni;

• Inni liggja allir skápar þess;

• Innri hornið er ekki meira en 180 °.

Marghyrningurinn skiptir alltaf planinu í tvo hluta. Einn þeirra er takmörkuð (það má loka í hring) og hinn er ótakmarkaður. Fyrsti er kallaður innra svæðið og annað kallast ytri svæðið í þessari rúmfræðilegu mynd. Þessi marghyrningur er gatnamótin (með öðrum orðum - sameiginlegur hluti) nokkra hálfvéla. Í þessu tilfelli skiptir sérhver hluti sem hefur endar á stigum sem tilheyra marghyrningi alveg.

Afbrigði af kúptum marghyrningum

Skilgreiningin á kúptu marghyrningi bendir ekki til þess að það eru margar tegundir þeirra. Og hver þeirra hefur ákveðnar viðmiðanir. Þannig eru kúptar marghyrningar sem hafa innra horn jafn 180 ° kallað svaflega kúpt. Kúpt geometrísk mynd sem hefur þrjá hnúta er kölluð þríhyrningur, fjórir er fjórhyrningur, fimm er fimmhyrningur osfrv. Hvert kúptu n-gonsnar uppfyllir eftirfarandi mikilvægasta kröfu: n verður að vera eða vera hærra en 3. Hvert þríhyrningsins er kúpt. Stærðfræðileg mynd af þessari gerð, þar sem allir hornin eru staðsettir á einum hring, er kallað skrúfaður í hring. Kúptur marghyrningur er kallaður lýst ef allir hliðar hennar nálægt hringnum snerta það. Tvær marghyrningar eru kallaðir jafnar aðeins ef hægt er að sameina þær með skarast. Fjölhyrningsplan er kallað plágu marghyrningur (hluti af planinu), sem takmarkast af þessari geometrísku mynd.

Réttu kúptu marghyrningar

Rétt marghyrningar eru geometrískir tölur með sömu sjónarhornum og hliðum. Innan þeirra er punktur 0, sem er í sömu fjarlægð frá hverjum punktum sínum. Það er kallað miðju þessa geometrískra myndar. Þættirnir sem tengja miðju við hornin á þessari rúmfræðilegu mynd eru kallað apophemes, og þeir sem tengja punktinn 0 við hliðina eru radíur.

Rétthyrningur er ferningur. Regluleg þríhyrningur er kölluð jafnhliða. Fyrir slíkar tölur er eftirfarandi regla: hvert horn á kúptu marghyrningi er 180 ° * (n-2) / n,

Þar sem n er fjöldi hornanna á þessari kúptu geometrísku myndinni.

Svæðið af hvaða reglulegu marghyrningi er skilgreint með formúlunni:

S = p * h,

Þar sem p er jafnt helmingur summan af öllum hliðum tiltekins marghyrnings og h er jafn lengd apophema.

Eiginleikar kúptu marghyrninga

Kúptar marghyrningar hafa ákveðnar eiginleikar. Svo er hluti sem tengir einhverjar 2 stig af slíkri geometrískri mynd endilega staðsett í henni. Sönnun:

Segjum að P sé gefinn kúptur marghyrningur. Við tökum 2 handahófskennt stig, til dæmis A, B, sem tilheyra P. Samkvæmt núverandi skilgreiningu á kúptu marghyrningi eru þessar punktar staðsettir á annarri hlið línunnar sem inniheldur hliðar P. Þar af leiðandi hefur AB einnig þessa eign og er að finna í P. A sveigjanlegur marghyrningur er alltaf Það er hægt að skipta í nokkra þríhyrninga með algerlega öllum skautunum sem eru dregnar frá einum horninu.

Hringirnir á kúptum geometrískum tölum

Hornin á kúptu marghyrningi eru hornin sem myndast af hliðum þess. Innri horn eru á innra svæði þessa geometrískra mynda. Hornið sem myndast af hliðum hennar, sem samanstendur af einu horni, kallast hornið á kúptu marghyrningi. Horn sem liggur að innri horninu á tilteknu geometrískri mynd kallast ytri. Hvert horn af kúptu marghyrningi sem er inni í henni er jafn:

180 ° - x,

Þar sem x er gildi ytri hornsins. Þessi einfalda formúla gildir um allar geometrískir tölur af þessari gerð.

Almennt, fyrir ytri horn, er eftirfarandi regla fyrir hendi: Hvert horn af kúptu marghyrningi er jafn mismunurinn á milli 180 ° og gildis innri hornsins. Það getur haft gildi allt frá -180 ° til 180 °. Því þegar innra hornið er 120 ° verður ytri hornið 60 °.

Summan af horninu á kúptum marghyrningum

Summa innri horn á kúptu marghyrningi er komið á fót með formúlunni:

180 ° * (n-2),

Þar sem n er fjöldi hnúta n-gonsins.

Summa hornsins á kúptu marghyrningi er reiknað með einföldum hætti. Íhugaðu allar slíkar rúmfræðilegar myndir. Til að ákvarða summa hornanna í kúptum marghyrningi verður að vera tengdur við aðra hnúta. Sem afleiðing af þessari aðgerð fáum við (n-2) þríhyrninga. Það er vitað að summa hornanna á hvaða þríhyrningi er alltaf 180 °. Þar sem fjöldi þeirra í hvaða marghyrningi er jafngildir (n-2) er summan af innri horninu á slíku mynd 180 ° x (n-2).

Summan af horninu á kúptu marghyrningi, þ.e. tvær tvær innri og aðliggjandi ytri horn, fyrir tiltekið kúpt geometrísk mynd mun alltaf vera 180 °. Áfram frá þessu er hægt að ákvarða summa allra hornanna:

180 klukkustundir.

Summa innri hornanna er 180 ° * (n-2). Áframhaldandi af þessu er summan af öllum ytri sjónarmiðum gefinn upp með formúlunni:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Summa ytri horn allra kúpta marghyrningsins mun alltaf vera 360 ° (óháð fjölda hliðanna).

Ytra horn kúptu marghyrningsins er almennt táknað með mismun á milli 180 ° og gildis innri hornsins.

Önnur eiginleika kúptu marghyrnings

Til viðbótar við helstu eiginleika þessara geometrískra tölur, hafa þeir aðra sem koma upp þegar þeir eru notaðir. Þannig er hægt að skipta öllum marghyrningum í nokkra kúpta n-gons. Fyrir þetta er nauðsynlegt að halda áfram hvorum hliðum og skera þessa rúmfræðilega mynd meðfram þessum beinum línum. Hægt er að skipta hvaða marghyrningi í nokkra kúpta hluta og þannig að hnúður hvers stykkja samanstendur af öllum punktum hennar. Frá þessari geometrísku mynd er mjög auðvelt að búa til þríhyrninga með því að halda öllum skáunum frá einu horninu. Þannig má hverja marghyrning, í lokagreiningu, skiptast í ákveðinn fjölda þríhyrninga, sem er mjög gagnlegt við að leysa ýmis vandamál sem tengjast slíkum geometrískum tölum.

Jafnvægi á kúptu marghyrningi

Hlutarnir af brotnu línu, sem kallast hlið marghyrnings, eru oftast táknuð með eftirfarandi bókstöfum: ab, bc, cd, de, ea. Þetta eru hliðar geometrískra mynda með hornunum a, b, c, d, e. Summan af lengdum öllum hliðum þessa kúptu marghyrnings er kallað ummál hennar.

Hringur af marghyrningi

Kúptu marghyrningar geta verið skrifaðir og lýst. Hringur sem snertir alla hlið þessa geometrískra myndar er kallaður innritaður í það. Slík marghyrningur er kallaður lýst. Miðja hringsins sem er skrúfaður í marghyrningi er skurðpunktur bálksins í öllum sjónarhornum innan tiltekins geometrísks myndar. Svæðið af svona marghyrningi er jafn:

S = p * r,

Hvar r er radíus innritaðrar hring, og p er samhverfarmörkin tiltekins marghyrnings.

Hringur sem inniheldur hornhyrninga marghyrnings er kallað lýst nálægt henni. Í þessu tilviki er þetta kúpta geometrísk mynd kallað innrituð. Miðja hringsins, sem er lýst nálægt svona marghyrningi, táknar skurðpunkt hinnar svokölluðu miðjuhyrnings af öllum hliðum.

Skurður á kúptum geometrískum tölum

Skurður á kúptu marghyrningi eru hluti sem tengjast ekki nálægum hnitum. Hver þeirra liggur inni í þessari rúmfræðilegu mynd. Fjölda skára af slíkum n-gon er sett með formúlunni:

N = n (n-3) / 2.

Fjöldi skautanna á kúptu marghyrningi gegnir mikilvægu hlutverki í grunnfræðinni. Fjöldi þríhyrninga (K), þar sem hver kúptu marghyrningur er hægt að brjóta, er reiknuð með eftirfarandi formúlu:

K = n - 2.

Fjöldi skautanna á kúptu marghyrningi fer alltaf eftir fjölda hornhnappa hennar.

Splitting á kúptu marghyrningi

Í sumum tilfellum, til að leysa geometrísk vandamál, er nauðsynlegt að brjóta upp kúptu marghyrning í nokkra þríhyrninga með ósamþykktum skautum. Þetta vandamál er hægt að leysa með því að afla ákveðinnar formúlu.

Skilgreining á vandamálinu: Við köllum ákveðna niðurbrot á kúptum n-gon í nokkra þríhyrninga með skáum sem skera aðeins á hnúppum þessa geometrískra mynda.

Lausn: Segjum að P1, P2, P3 ..., Pn séu hornpunktar þessa n-gon. Talan Xn er fjöldi skiptinganna. Við íhugum vandlega skýringarmyndina á geometrísk mynd Pi Pn. Í hvaða venjulegu skipting P1 Pn tilheyrir ákveðnum þríhyrningi P1 Pi Pn, fyrir hvaða 1

Leyfðu ég = 2 að vera ein hópur af venjulegum skiptingum, alltaf með skáletri P2 Pn. Fjölda skiptinga sem koma inn í það fellur saman við fjölda skiptinga af (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Með öðrum orðum, jafngildir það Xn-1.

Ef ég = 3 þá mun þessi annar hópur skiptinganna alltaf innihalda ská og P3 P1 og P3 Pn. Í þessu tilfelli er fjöldi reglubundna skiptinga sem eru í þessum hópi samhliða fjölda skiptinga (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Með öðrum orðum mun það vera jafnt Xn-2.

Leyfðu ég = 4, þá á milli þríhyrninga, venjulega skiptingin inniheldur endilega þríhyrninga P1 P4 Pn sem fjórhjóla P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn, við hliðina á. Fjölda reglubundna skiptinganna á slíkum fjórhjóla jafngildir X4 og fjöldi skiptinganna af (n-3) -gon er jöfn Xn-3. Byggt á öllum ofangreindum, getum við sagt að heildarfjöldi reglubundna skiptinga sem eru í þessum hópi er jöfn Xn-3 X4. Aðrar hópar sem ég = 4, 5, 6, 7 ... mun innihalda Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... af venjulegum skiptingum.

Látum i = n-2, þá er fjöldi reglubundinna skiptinga í hópnum samhliða fjölda skiptinganna í hópnum sem ég = 2 (með öðrum orðum, jafngildir Xn-1).

Þar sem X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., þá er fjöldi allra sneiðar af kúptu marghyrningi jöfn:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Dæmi:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Fjölda reglubundna skiptinganna skerandi einn ská

Við sannprófun á sérstökum tilvikum má búast við því að fjöldi skautanna af kúptum n-gölum jafngildir vörunni af öllum skiptingum þessa myndar með (n-3).

Vísbending um þessa forsendu: Gætum þess að P1n = Xn * (n-3), þá getur einhver n-gon sundrast í (n-2) þríhyrninga. Á sama tíma er hægt að sameina einn af þeim (n-3) -fjórðungnum. Samhliða þessu mun hver fjórhyrningur hafa ská. Þar sem hægt er að teikna tvær skástæður í þessari kúptu geometrískri mynd, þá þýðir það að hægt er að teikna viðbótar ská (n-3) í hvaða (n-3) Í kjölfarið er hægt að álykta að í hvaða venjulegu skipting er hægt að framkvæma (n-3) -þvermál sem samsvarar skilyrðum þessa vandamála.

Svæði af kúptum marghyrningum

Oft er nauðsynlegt að ákvarða svæði kúptu marghyrningsins þegar leysa er á ýmsum vandamálum grunnkennara. Segjum að (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n er röð hnit allra nálægra hnúta marghyrnings sem ekki hefur sjálfstætt gatnamót. Í þessu tilviki er svæðið reiknað með eftirfarandi formúlu:

S = ½ (Σ (Xi + Xi _{+ 1} ) (Yi + Yi _{+ 1} )),

Hvar (X ₁ , Y ₁ ) = (X _{n +1} , Y _{n + 1} ).