Kenningin um líkur. Líkur á atburði, einstaka atburði (líkindafræði). Sjálfstæð og ósamrýmanleg þróun í kenningu líkur

Það er ólíklegt að margir hugsa það er hægt að telja atburði, sem að einhverju leyti fyrir slysni. Til að setja það í einföldum orðum, það er raunhæft að vita hver hlið af the teningur í teningar falla næst. Það var þessi spurning að spyrja tvö frábær vísindamenn, lagði grunninn að þessum vísindum, kenningar um líkur, líkur á atburði sem rannsakað mikið nóg.

kynslóð

Ef þú ert að reyna að skilgreina slíkt hugtak sem kenningu um líkur, fáum við eftirfarandi: þetta er eitt af útibúum stærðfræði sem rannsóknir á óbreytileika af handahófi atburði. Augljóslega er þetta hugtak í raun ekki sýna kjarna, þannig að þú þarft að íhuga það nánar.

Mig langar til að byrja með stofnendum kenningarinnar. Eins og nefnt var hér að framan, voru tveir, sem Per ferma og Blez Paskal. Þeir voru fyrstu tilraun með formúlur og útreikninga til að reikna út niðurstöðu atburði. Almennt the óþroskað líffæri af þessum vísindum er jafnvel á miðöldum. Þótt ýmsir hugsuðir og vísindamenn hafa reynt að greina leiki úr spilavítum, svo sem rúlletta, craps, og svo framvegis, þannig að koma á mynstur, og hlutfall missi fjölda. Grunnurinn var einnig lagður á sautjándu öld var áðurgreind fræðimenn.

Upphaflega, vinna þeirra gæti ekki hægt að rekja til mikill árangur á þessu sviði, eftir allt, hvað þeir gerðu, þeir voru einfaldlega reynslunni staðreyndir og tilraunir voru greinilega án þess að nota formúlur. Með tímanum, það kom að ná frábærum árangri, sem birtist í kjölfar athugun kastað af beinum. Það er þetta tæki hefur hjálpað til að koma í fyrsta greinilegur formúlu.

stuðningsmenn

Svo ekki sé minnst eins maður og Christiaan Huygens, í því ferli að læra efni sem ber nafnið "líkindafræði" (líkur á atburði hápunktur það í þessum vísindum). Þessi manneskja er mjög áhugavert. Hann, eins og heilbrigður eins og vísindamenn hér að ofan eru reyndir í formi stærðfræði formúlur til að álykta mynstur af handahófi atburði. Það er athyglisvert að hann hafi ekki deilt því með Pascal og Fermat, það er allt verk hans skarist ekki með þeim huga. Huygens unnum helstu hugtök líkindafræði.

Áhugavert staðreynd er sú að verk hans kom löngu áður en niðurstöður verkum frumkvöðlar, til að vera nákvæm, tuttugu árum áður. Það eru aðeins meðal hugtök skilgreind voru:

• sem hugtakið Líkindagildi tækifæri;
• eftirvænting fyrir stakur ræða;
• theorems sem er viðbót af og fjölgi sér líkur.

Einnig má ekki gleyma Yakoba Bernulli, sem einnig stuðlað að rannsókn á vandamálinu. Með eigin, hvorki þeirra eru sjálfstæðar prófanir, var hann fær um að veita sönnun á lögum af stórum tölum. Aftur á móti, vísindamenn Poisson og Laplace, sem starfaði í upphafi nítjándu aldar, gátu til að sanna upprunalega setningin. Frá þeirri stundu að greina villur í athugasemdum við byrjuðum að nota líkindafræði. Aðili í kringum þetta vísindi gat ekki og rússnesku vísindamenn, heldur Markov, Chebyshev og Dyapunov. Þær eru byggðar á vinnu mikill snillinga, tryggt sér efni sem útibú stærðfræði. Við unnum þessar tölur í lok nítjándu aldar, og þökk sé framlagi þeirra, hefur verið sannað fyrirbæri, svo sem:

• lögmál mikils fjölda;
• Theory of Markov keðjanna;
• Mið takmörk setning.

Svo, sögu fæðingu vísindi og með helstu persónum sem stuðluðu að því, allt er meira eða minna ljóst. Nú er kominn tími til að hold út allar staðreyndir.

grunnhugtök

Áður en þú snertir lög og theorems ættu að læra helstu hugtök líkindafræði. Event það occupies a ríkjandi hlutverk. Þetta umræðuefni er frekar mikið, en mun ekki vera fær um að skilja allar hinar án þess.

Atburður í líkindafræði - það Allir setja af niðurstöðum tilraunarinnar. Hugtökin þessu fyrirbæri er ekki nóg. Þannig Lotman vísindamaður að vinna á þessu sviði, hefur lýst að í þessu tilfelli erum við að tala um hvað "gerðist, þótt það gæti ekki gerst."

Handahófi viðburðir (líkindafræði greiðir sérstaka athygli á þeim) - er hugtak sem felur í sér algerlega hvaða fyrirbæri sem hefur möguleika á að eiga sér stað. Eða, þvert á móti, þetta atburðarás getur ekki gerst í afkomu ýmsum skilyrðum. Það er einnig vert að vita að hernema allt rúmmál fyrirbæri sem koma bara af handahófi atburði. Líkindafræði bendir á að öll skilyrði er hægt að endurtaka stöðugt. Það er framkoma þeirra hefur verið kallað "reynslu" eða "test".

Þýðingarmikill atburður - þetta er fyrirbæri sem er hundrað prósent í þessu prófi gerast. Í samræmi við það, sem ómögulegt atburður - þetta er eitthvað sem gerist ekki.

Sameinar pör aðgerðar (sem hefðbundið er um er að ræða A og tilvikB) er fyrirbæri sem á sér stað á sama tíma. Þeir eru sem vísað er til sem AB.

Magnið af pör af atburðum A og B - C er, með öðrum orðum, ef að minnsta kosti eitt af þeim mun (A eða B), þú færð C. Formúlan lýst fyrirbæri er skrifað eins og C = A + B

Ósamrýmanleg þróun í kenningu líkur felur í sér að tvö tilvik eru ósamrýmanlegir. Á sama tíma sem þeir eru í öllum tilvikum er ekki átt sér stað. Sameiginlegar viðburðir í líkindafræði - það er andstætt þeirra. The vísbendingu er sú að ef A gerðist, það útilokar ekki C.

Andstæðar atburði (líkindafræði telur þau í smáatriðum), er auðvelt að skilja. Það er best að takast á við þá í samanburði. Þeir eru nánast þær sömu og ósamrýmanleg þróun í kenningu líkur. Hins vegar munur þeirra er að eitt af fjölda fyrirbæra í öllum tilvikum ætti sér stað.

Jafn líklegt Viðburðir - þær aðgerðir, möguleika á endurtekningu er jafnt. Til að gera það ljóst, getur þú ímyndað kasta peningi: tap á einn af hliðum er jafn líklegt tap öðrum.

það er auðveldara að fjalla um dæmi um að ívilna atburðinn. Segjum sem svo að það er þáttur í þættinum A. Fyrsta - rúlla af deyja með tilkomu oddatala, og annað - á útliti númer fimm á teningnum. Þá kemur í ljós að A er studdi V.

Óháðir atburðir í líkindafræði er spáð einungis á tveimur eða oftar og taka óháð hvaða aðgerða frá öðrum. Til dæmis, A - á tapi hala mynt kasta, og B - dostavanie Jack frá þilfari. Þeir hafa sjálfstæða atburðum í líkindafræði. Frá þessari stundu varð ljóst.

Háðum viðburðir í líkindafræði er líka einungis heimil sín. Þeir fela í sér ósjálfstæði einn á öðrum, það er, fyrirbæri getur komið í aðeins í tilviki þegar A hefur þegar átt sér stað eða, þvert á móti, ekki gerast þegar það er - helstu skilyrði fyrir B.

Niðurstaða handahófi tilraun sem samanstendur af einum þætti - það er grunnskólabörn atburði. Líkindafræði segir að það er fyrirbæri sem er gert einu sinni.

grunnformúlan

Þannig að ofan voru talin hugtakið "atburður", "líkindafræði", skilgreiningar á helstu skilmálum þessarar vísinda var einnig gefin. Nú er kominn tími til að kynna sér mikilvægar formúlur. Tjáning eru stærðfræðilega staðfesti allar helstu hugtök í svona erfiðum efni sem kenningu líkur. Líkur á atburði og spilar stórt hlutverk.

Betra að byrja með helstu formúlur af combinatorics. Og áður en þú byrjar þá er það þess virði að íhuga hvað það er.

Combinatorics - er fyrst og fremst útibú stærðfræði, hann hefur verið að læra a gríðarstór tala af heiltölur, og ýmis permutations bæði tölur og þætti þeirra, ýmis gögn, og svo framvegis N., sem leiðir til tilkomu fjölda samsetninga.. Í viðbót við kenningu líkur, þetta iðnaður er mikilvægt fyrir tölfræði, tölvunarfræði og dulmál.

Svo nú er hægt að fara á kynningu á sjálfum sér og skilgreining formúlur þeirra.

Fyrsta þeirra er tjáning fyrir fjölda umraðanna, það er eins og hér segir:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Jafna gildir aðeins í tilfelli ef þættir eru mismunandi aðeins í röð fyrirkomulagi.

Nú staðsetning uppskrift, það lítur út eins og þetta verður að teljast:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Þetta mál gildir ekki aðeins um eina frumefni staðsetningu þess, en einnig samsetningu þess.

Þriðja Jafna combinatorics, og það er seinni, sem kallast formúluna fyrir þann fjölda samsetninga:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Samsett kallast sýnataka, sem eru ekki skipað, hver um sig, til og beita þessari reglu.

Með forskrift combinatorics komu að skilja auðveldlega, þú getur nú farið í klassíska skilgreiningu á líkum. Það lítur út eins og þetta tjáningu sem hér segir:

P (A) = M: n.

Í þessari formúlu, m - er fjöldi skilyrði sem stuðla að atburður A, og n - fjöldi jafnt og alveg alla grunn atburðum.

Það eru margir orðasambönd í greininni verður ekki talið neitt en áhrif verða mikilvægustu sjálfur eins og til dæmis líkur á atburðum nemur:

P (A + B) = P (A) + P (B) - þetta setningin til að bæta aðeins ósamrýmanlegir atburðir;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - en þetta er aðeins til að bæta við samhæft.

Líkurnar á atburði verkum:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - þetta setningin fyrir sjálfstæða atburða;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - og þetta fyrir háða.

Endaði lista yfir viðburðir formúlu. Kenningin um líkur segir okkur setningin Bayes, sem lítur svona út:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Í þessari jöfnu, H _{1, H2,} ..., H _n - er heill setja af tilgátur.

Á þessum stöðva, sýni formúlur umsókn verður nú að teljast til sérstakra verkefna frá starfi.

dæmi

Ef þú læra vandlega hvaða útibú stærðfræði, það er ekki án æfingum og sýni lausnir. Og kenningar líkum: atburðum, dæmi hér eru óaðskiljanlegur hluti af staðfestir vísindalega útreikninga.

Formúlan fyrir fjölda umraðana

Til dæmis, í kortið þilfari með þrjátíu spil, sem hefst með nafnverði einn. Næsta spurning. Hversu margar leiðir til að brjóta þilfari þannig að spilin með nafnvirði eitt og tvö voru ekki staðsett við hliðina?

Verkefnið er sett, nú skulum fara að takast á við það. Fyrst þú þarft að ákveða fjölda umraðana þrjátíu þætti, í þessu skyni við tökum formúlunni hér á undan, það kemur P_30 = 30!.

Byggt á þessari reglu, við vitum hversu margir möguleikar eru til að leggja niður þilfari á marga vegu, en við verðum að draga úr þeim eru þeir sem fyrsta og annað kortið verður næst. Til að gera þetta, byrja með afbrigði, þegar fyrsta er staðsett á sekúndu. Það kemur í ljós að fyrstu Kortið getur tekið tuttugu og níu stöðum - frá fyrsta til tuttugasta og níunda, og annað kortið úr sekúndu til þrítugasta, snýr tuttugu og níu sæti fyrir pör af kortum. Í snúa, hinir geta tekið tuttugu og átta sæti, og í hvaða röð. Það er, fyrir endurröðun tuttugu og átta spil hafa tuttugu og átta möguleikar P_28 = 28!

Niðurstaðan er sú að ef við lítum á ákvörðun, þegar fyrsta kortið er á annarri auka tækifæri til að fá 29 ⋅ 28! = 29!

Að nota sömu aðferð, þú þarft að reikna út fjölda óþarfi valkostur fyrir máli þegar fyrsta kortið er staðsett undir sekúndu. Einnig fæst 29 ⋅ 28! = 29!

Af þessu leiðir að auka valkosti 2 ⋅ 29! En nauðsynlegum hætti að safna þilfari 30! - 2 ⋅ 29!. Það er aðeins að reikna.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nú þurfum við að margfalda saman allar tölur frá einu til tuttugu og níu, og þá í lok allra margfaldað með 28. Svarið fæst 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Dæmi um lausnir. Formúlan fyrir fjölda gistingu

Í þessu dæmi, þú þarft að finna út hversu margir eru tvær leiðir til að fimmtán bindi á hillu, en undir því skilyrði að aðeins þrjátíu bindi.

Í þessu verkefni, ákvörðun svolítið auðveldara en áður. Notkun þegar þekktur uppskrift, það er nauðsynlegt að reikna út heildarfjölda þrjátíu stöðum fimmtán bindi.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Svar um sig, verður jafn 202 843 204 931 727 360 000.

Nú taka verkefni svolítið erfiðara. Þú þarft að vita hversu margir það eru leiðir til að raða í þrjátíu og tveir bækur á hillum, með þeim fyrirvara, að aðeins fimmtán bindi geta búa á sama hilluna.

Áður upphafi ákvörðunar langar til að skýra að sumir af the vandamál er hægt að leysa á ýmsa vegu, og í þessu það eru tvær leiðir, en í bæði einn og sama uppskrift er beitt.

Í þessu verkefni er hægt að taka svar frá fyrri, því það sem við höfum reiknað út fjölda skipta sem þú getur fyllt út á hilluna fyrir fimmtán bækur á mismunandi vegu. Það kom A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Seinni Regiment er reiknað með formúlunni stokka, vegna þess að það er sett fimmtán bækur, á meðan það sem eftir fimmtán. Við notum formúluna P_15 = 15!.

Það kemur í ljós að summa muni A_30 ^ 15 ⋅ P_15 leiðir, en að auki, the vara af öllum tölum frá þrjátíu til sextán yrði margfölduð með margfeldi talnanna frá einum til fimmtán, í lok snúa út vöruna allra tölur frá einum til þrjátíu, það er svarið er 30!

En þetta vandamál er hægt að leysa á annan hátt - auðveldara. Til að gera þetta, getur þú ímyndað þér að það er ein hilla fyrir þrjátíu bækur. Öll þau eru lögð á þessu plani, en vegna þess að ástand krefst þess að það voru tveir hillur, ein löng og við Sögunarkerfin í tvennt, tvær beygjur fimmtán. Frá þessu kemur í ljós að á þessu fyrirkomulagi er hægt að P_30 = 30!.

Dæmi um lausnir. Formúlan fyrir fjölda af samsetningum af

Sem er talinn afbrigði af þriðju vandamál combinatorics. Þú þarft að vita hve marga vegu eru að raða fimmtán bækur á því skilyrði að þú verður að velja úr þrjátíu nákvæmlega sama.

Fyrir ákvörðun mun að sjálfsögðu, gilda formúluna fyrir fjölda samsetninga. Frá því ástandi sem það verður ljóst að röð af sömu fimmtán bókum er ekki mikilvægt. Svo fyrst þú þarft að finna út heildarfjölda samsetningum þrjátíu fimmtán bókum.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Það er allt. Notkun þessa formúlu, í stytta tími hægt er að leysa slík vandamál, svarið, hver um sig, jafnt 155,117,520.

Dæmi um lausnir. Klassískt Skilgreining líkur

Með formúlunni gefið hér að ofan, er hægt að finna svar í einfalt verkefni. En það mun greinilega sjá og fylgja námskeið um aðgerðir.

Verkefni í ljósi þess að í duftkeri eru tíu alveg eins kúlur. Af þeim fjórum gult og sex blár. Tekið úr urn einum bolta. Það er nauðsynlegt að vita líkurnar dostavaniya blár.

Til að leysa vandann er nauðsynlegt að tilnefna dostavanie bláa boltanum atburð A. Þessi reynsla getur haft tíu árangri, sem aftur á móti, grunn og jafn líklegt. Á sama tíma, sex af tíu eru hagstæð til the atburður A. Leysa eftirfarandi formúlu:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Beita þessari formúlu, höfum við lært að möguleikinn dostavaniya bláa boltanum er 0,6.

Dæmi um lausnir. Líkurnar viðburða upphæð

Hver mun vera afbrigði sem er leyst með því að nota formúluna af líkum af atburðum upphæð. Svo, miðað við ástand sem það eru tvö tilfelli, sá fyrsti er grár og fimm hvítar kúlur, en annað - átta gráa og fjórum hvítar kúlur. Þess vegna hafa fyrsta og annað kassa tekin á einn af þeim. Það er nauðsynlegt að finna út hvað eru líkurnar á að skorti kúlurnar eru grá og hvít.

Til að leysa þetta vandamál, það er nauðsynlegt að skilgreina atburði.

• Þannig A - við höfum gráan bolta á fyrsta reitinn: P (A) = 1/6.
• A '- hvítt peru teknar úr fyrsta kassann: P (A') = 5/6.
• The - þegar útdregin grey boltann af annarri leiðslu: P (B) = 2/3.
• B '- tók grár bolta af seinni skúffunnar: P (B') = 1/3.

Samkvæmt vandamálinu er nauðsynlegt að eitt af fyrirbærum sem gerðist: ab 'eða' B. Using the formúluna, fáum við: P (ab ') = 18/1, P (A'B) = 18/10.

Nú uppskrift af því að margfalda líkurnar var notað. Næst, til að finna út svarið, þú þarft að sækja um jöfnu þeirra bætti við:

P = P (ab '+ A'B) = P (ab') + P (A'B) = 11/18.

Það er hvernig, með því að nota formúluna, getur þú leyst slík vandamál.

niðurstaðan

Í ritgerðinni var kynnt á upplýsingum um "líkindafræði", líkur á atburði sem gegna mikilvægu hlutverki. Auðvitað, ekki allt hefur verið talið, en á grundvelli textans fram, er hægt að fræðilega kynnast þessari grein stærðfræðinnar. Talin vísindin geta vera gagnlegur ekki aðeins í faglegum fyrirtæki, en einnig í daglegu lífi. Þú getur notað það til að reikna allir möguleika á atburði.

Textinn var einnig áhrif verulegum dagsetningar í sögu þróun líkindafræði sem vísindi og nöfnum fólks sem verk hafa verið sett inn í það. Það er hvernig mannleg forvitni hefur leitt til þess að fólk hefur lært að telja, jafnvel handahófi atburði. Þegar þeir eru bara áhuga á þessu, en í dag er nú þegar þekkt fyrir alla. Og enginn getur sagt hvað verður um okkur í framtíðinni, hvað aðrir ljómandi uppgötvanir sem tengjast kenningu til umfjöllunar, yrði framið. En eitt er víst - rannsókn er enn ekki þess virði!